Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D在OC的延長線上，∠B=∠D=30°，
（1）求證：AD為⊙O的切線；
（2）已知AC=4，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OA，
∵∠B=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
又∵∠D=30°，
∴∠DAO=180°-∠D-∠O=90°，
即：OA⊥DA，
又∵A點在圓上，
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：∵OA=OC，∠O=60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴OA=AC=4，
又∵∠D=30°，
∴OD=2•OA=8，
在Rt△AOD中，AD===4．
分析：（1）首先連接OA，由∠B=∠D=30°，根據(jù)圓周角定理，可求得∠O=60°，繼而可得∠OAD=90°，則可證得AD為⊙O的切線；
（2）易得△AOC為等邊三角形，則可求得OA=4，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求得OD的長，繼而由勾股定理求得AD的長．
點評：此題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．