Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD的過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若∠BAC=30°，AD=3，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接CO，根據(jù)角之間的關系證明∠DAC=∠OCA，進而得到CO∥AD，從而可得CO⊥CD，即DC為⊙O的切線；
（2）根據(jù)∠BAC=30°，可得∠DAC=30°，再根據(jù)三角函數(shù)可算出AC的長．

解答：（1）證明：連接CO，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC為⊙O的切線；

（2）解：∵∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
∵AD=3，
∴AC=AD÷cos30°=2

3

．

點評：此題主要考查了切線的判定與三角函數(shù)的應用，關鍵是掌握切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．