Question

19．如圖，已知直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點C（-1，0）．
（1）求A、B的坐標；
（2）求拋物線的表達式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，試求出能使△ACP的面積最大時的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定A點和B點坐標；
（2）設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），然后把B點坐標代入求出a即可得到所以拋物線解析式；
（3）設P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，由于此方程沒有實數(shù)解，于是可判斷拋物線在x軸上方部分不存在一點P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍，然后把拋物線解析式配成頂點式即可得到使△ACP的面積最大的P點坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，則B（0，2），
當y=0時，-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=4，則A（4，0），
（2）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把B（0，2）代入得a•1•（-4）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（3）不存在．
設P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）（-1＜t＜4），
因為△ACP的面積是△ABO的2倍，
所以$\frac{1}{2}$•（4+1）•（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=2•$\frac{1}{2}$•2•4，
整理得5t²-15t+12=0，△=15²-4×5×12＜0，方程沒有實數(shù)解，
所以拋物線在x軸上方部分不存在一點P，使得△ACP的面積是△ABO的2倍，
當P點為拋物線的頂點時，△ACP的面積最大，
因為y=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．