Question

已知關于的方程.

（1）求證：方程總有兩個實數根；

（2）若方程有一個根大于4且小于8，求m的取值范圍；

（3）設拋物線與軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關于直線的對稱點恰好是點M，求的值.

 

Answer 1

（1）證明：△=b²-4ac=（m-3）2-4（m-4）=m²-10m+25=（m-5）²≥0，

所以方程總有兩個實數根．

（2）解：由（1）△=（m-5）²，根據求根公式可知，

方程的兩根為：

即：x₁=1，x₂=m-4，

由題意，有4＜m-4＜8，即8＜m＜12．

答：m的取值范圍是8＜m＜12．

（3）解：易知，拋物線y=x²-（m-3）x+m-4與y軸交點為M（0，m-4），

由（2）可知拋物線與x軸的交點為（1，0）和（m-4，0），

它們關于直線y=-x的對稱點分別為（0，-1）和（0，4-m），

由題意，可得：-1=m-4或4-m=m-4，

即m=3或m=4，

答：m的值是3或4．