Question

如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA．設(shè)PA=x，PB=y，則（x-y）的最大值是

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,壓軸題

分析：作直徑AC，連接CP，得出△APC∽△PBA，利用

AP

AC

=

BP

AP

，得出y=

1

8

x²，所以x-y=x-

1

8

x²=-

1

8

x²+x=-

1

8

（x-4）²+2，當(dāng)x=4時，x-y有最大值是2．

解答：解：如圖，作直徑AC，連接CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB是切線，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴

AP

AC

=

PB

PA

，
∵PA=x，PB=y，半徑為4，
∴

x

8

=

y

x

，
∴y=

1

8

x²，
∴x-y=x-

1

8

x²=-

1

8

x²+x=-

1

8

（x-4）²+2，
當(dāng)x=4時，x-y有最大值是2，
故答案為：2．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．