Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），過(guò)點(diǎn)D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N．
（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)帶你M，求該反比例函數(shù)的解析式，并通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；
（3）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍；
（4）若將△MNB放置于平面直角坐標(biāo)系中：使斜邊在橫軸上，直角頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，試求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，把D、E的坐標(biāo)代入即可求出直線的解析式，把y=2代入即可求出M的坐標(biāo)．
（2）把M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出即可，把x=4代入直線的解析式即可求出N的坐標(biāo)．
（3）求出反比例函數(shù)的圖象過(guò)B點(diǎn)的k值，即可求出答案．
（4）求出直角三角形MBN的斜邊上的高BL，根據(jù)相似求出LN，即可求出N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，
把D、E的坐標(biāo)代入得：

3=b 0=6k+b

，
解得：k=-

1

2

，b=3，
∴直線DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y=2代入y=-

1

2

x+3得：x=2，
∴M的坐標(biāo)是（2，2）．

（2）把M（2，2）代入y=

k

x

得：k=4，
即反比例函數(shù)的解析式是y=

4

x

，
∵B（4，2），
∴把x=4代入y=-

1

2

x+3得：y=1，
∴N的坐標(biāo)是（4，1），
把N的坐標(biāo)代入y=

4

x

得：左邊=4，右邊=4，左邊=右邊，
即點(diǎn)N在反比例函數(shù)的圖象上．

（3）把B（4，2）代入y=

k

x

得：k=8，
∵反比例函數(shù)y=

4

x

過(guò)M、N點(diǎn)，
∴若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)，k的取值范圍是4≤k≤8．

（4）過(guò)B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM=4-2=2，BN=2-1=1，
由勾股定理得：NM=

22+12

=

5

，
S_△MNB=

1

2

BM×BN=

1

2

MN×BL，
∴2×1=

5

×BL，
∴BL=

2 5

5

，
如圖所示：

∵直角頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，
∴B的縱坐標(biāo)是

2 5

5

，代入y=

4

x

得：橫坐標(biāo)是2

5

，
∴OL=2

5

，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴

LN

BN

=

BL

MB

，
∴

LN

1

=

2 5 5

2

，
∴LN=

5

5

，
∴ON=OL+LN=2

5

+

5

5

=

11 5

5

，
∴N的坐標(biāo)是（

11 5

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次和和反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度．