Question

2．如圖1，已知拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+c與x軸相交于A、B兩點（B點在A點的左側），與y軸相交于C點，且AB=10．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖2，D點在x軸上，且在A點的右側，E點為拋物線上第二象限內的點，連接ED交拋物線于第二象限內的另外一點F，點E到y(tǒng)軸的距離與點F到y(tǒng)軸的距離之比為3：1，已知tan∠BDE=$\frac{4}{3}$，求點E的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點G由B出發(fā)，沿x軸負方向運動，連接EG，點H在線段EG上，連接DH，∠EDH=∠EGB，過點E作EK⊥DH，與拋物線相應點E，若EK=EG，求點K的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據函數關系式求出對稱軸，由AB=10，求出點A的坐標，代入函數關系式求出c的值，即可解答；
（2）作EM⊥x軸，垂足為點M，F(xiàn)N⊥x軸，垂足為點N，F(xiàn)T⊥EM，垂足為點T．得到四邊形FTMN為矩形，由EM∥FN，F(xiàn)T∥BD．得到∠BDE=∠EFT，所以tan∠EFT=$\frac{4}{3}$，
設E（-3m，y_E），F(xiàn)（-m，y_F），得到$\frac{4}{3}=\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{-m-（-3m）}$，再由y_E-y_F=$\frac{8}{3}m$=（-3m²+8m+3）-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m$+3），解得m=1，-3m=-3，代入函數關系式即可解答；
（3）作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q．再證明△EGM≌△EKR，求出Q（-$\frac{1}{3}$，0），R（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$），從而得到直線RQ的解析式為：y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．設點K的坐標為（x，$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$）代入拋物線解析式可得x=-11，即可解答．

解答 解：（1）由y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+c，
可得對稱軸為x=-4
∵AB=10，
∴點A的坐標為（1，0），
∴$-\frac{1}{3}×{1}^{2}-\frac{8}{3}×1+c=0$，
∴c=3
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x$+3．
（2）如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點M，F(xiàn)N⊥x軸，垂足為點N，F(xiàn)T⊥EM，垂足為點T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，
∴四邊形FTMN為矩形，
∴EM∥FN，F(xiàn)T∥BD．
∴∠BDE=∠EFT，
∵tan∠BDE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠EFT=$\frac{4}{3}$，
設E（-3m，y_E），F(xiàn)（-m，y_F）
∴$\frac{4}{3}=\frac{{y}_{E}-{y}_{F}}{-m-（-3m）}$
∵y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x$+3過點E、F，
則y_E-y_F=$\frac{8}{3}m$=（-3m²+8m+3）-（-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{8}{3}m$+3），
解得m=0（舍去）或m=1，
當m=1時，-3m=-3，
∴${y}_{E}=-\frac{1}{3}×（-3）^{2}-\frac{8}{3}×（-3）+3$=8．
∴E（-3，8）．
（3）如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，
∴∠KER=∠GEM，
在△EGM和△EKR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KER=∠GEM}\\{∠GME=∠KRE}\\{EK=EG}\end{array}\right.$
∴△EGM≌△EKR，
∴EM=ER=8，
∵tan∠BDE=$\frac{4}{3}$．
∴ED=10，
∴DR=2，
∴DQ=$\frac{10}{3}$
∴Q（-$\frac{1}{3}$，0），
可求R（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$）
∴直線RQ的解析式為：y=$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$．
設點K的坐標為（x，$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$）代入拋物線解析式可得x=-11
∴K（-11，-8）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數的性質和二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求函數解析式，全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是準確做出輔助線．