Question

已知：如圖，拋物線y=x²+4x+m與x軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），過A、C兩點(diǎn)作直線AC。

（1）直接寫出m的值及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是線段AC上一點(diǎn)，設(shè)△ABP、△BPC的面積分別為S₁、S₂，且S₁：S₂=2：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)⊙O'的半徑為1，圓心O'在拋物線上運(yùn)動，則在運(yùn)動過程中是否存在⊙O'與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心O'的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
②探究：設(shè)⊙O'的半徑為r，圓心O'在拋物線上運(yùn)動，當(dāng)r取何值時，⊙O'與兩坐標(biāo)軸都相切？

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+4x+m與與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴m=3，
∴拋物線的的解析式為y=x²+4x+3，
令y=0，得x²+4x+3=0，即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∴，
即得b=3，k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3，
∵P在線段AC上，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，x+3），
∴S₁=S_△ABP=AB·|x+3|=|x+3|，
S₂=S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP =×2×3-AB·|x+3| =3-|x+3|，
∵S₁：S₂=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=，解得x=-或-，
∵P在線段AC上，
∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）；
（3）①⊙O′的半徑為1，圓心在y=1上，解得x=-2±；
圓心在y=-1上，解得x=-2；
圓心在x=1上，解得y=7；
圓心在x=-1上，解得x=0；
∴⊙O′的坐標(biāo)為（-2，-1），（-2+，1），（-2-，1），（1，7），（-1，0）；
②⊙O′的半徑為r，與兩坐標(biāo)軸均相切，則圓心在y=-x或y=x上，
圓心在y=x上，無交點(diǎn)；
圓心在y=-x上，解得x=，則r=，
∴當(dāng)r=時，⊙O′與兩坐標(biāo)軸都相切。