Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，且∠BAC=30^。，∠APB=60^。。
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長(zhǎng)。

Answer 1

.解：（1）連接OB              ∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30。             ∴∠AOB=180。-30。-30。=120。              ∵PA切⊙O于點(diǎn)A             ∴OA⊥PA，             ∴∠OAP=90。              ∵四邊形的內(nèi)角和為360。 ∴∠OBP=360。-90。-60°-120。=90。           ∴OB⊥PB 又∵點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn) ∴PB是⊙O的切線     （2）連接OP             ∵ PA、PB是⊙O的切線，              ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30。            在Rt△OAP中，∠OAP=90。，∠OPA=30。 ∴OP=2OA=2×2=4            ∴PA=            ∵PA=PB，∠APB=60。                ∴PA=PB=AB=2