Question

9．如圖，已知直線l：$y=\sqrt{3}x+3$與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，將直線l向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后得直線l₁，直線l₁與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，將△COD繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到△C′O′D′．若△AOB≌△COD：
（1）m的值是6；直線l₁的函數(shù)表達(dá)式是y=$\sqrt{3}$x-3；
（2）求證：l₁垂直平分OD′．

Answer 1

分析 （1）由直線l解析式，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)，得出OA與OB的長(zhǎng)，由三角形AOB與三角形COD全等，求出OC與OD的長(zhǎng)，確定出C與D坐標(biāo)，設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，把C與D坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線l₁的解析式，利用平移規(guī)律求出m的值即可；
（2）連接OD′，由平移的性質(zhì)得到l∥l₁，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，在直角三角形AOB中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠ABO的度數(shù)，即為∠ODE的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DOE=60°，OD=OD′，進(jìn)而得出∠OED為直角，即l₁垂直O(jiān)D′，三角形ODD′為等邊三角形，利用三線合一得到E為OD′中點(diǎn)，得證．

解答 （1）解：直線l：y=$\sqrt{3}$x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=-$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），即OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∵△AOB≌△COD，
∴OC=OA=$\sqrt{3}$，OD=OB=3，
∴C（$\sqrt{3}$，0），D（0，-3），
設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，
把C與D坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線l₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x-3，
則直線l向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得直線l₁；
故答案為：6；y=$\sqrt{3}$x-3；

（2）證明：連接DD′，
由平移得l∥l₁，可得∠ABO=∠ODC，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{3}$，OB=3，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠ABO=30°，
∴∠ODC=∠ABO=30°，
∴∠OED=90°，即l₁⊥OD′，
∵∠DOD′=60°，OD=OD′，
∴△ODD′為等邊三角形，
∴E為OD′的中點(diǎn)，
則l₁垂直平分OD′．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平移與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．