Question

如圖，Rt△ABC置于平面直角坐標系中，使直角頂點B與坐標原點O重合，邊AB、BC分別落在y軸、x軸上，AB=9，CB=12．直線y=-+4交y軸、y軸分別于點D、E．點M是斜邊AC上的一個動點，連接BM．點P是線段BM上的動點，始終保持∠BPE=∠BDE．
（1）直接寫出點D和點E的坐標；
（2）證明：∠BPE=∠ACB；
（3）設線段OP的長為y個單位，線段OM的長為x個單位，請你寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）請你求出線段OP長度的最大值．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-+4交y軸、y軸分別于點D、E．
∴當x=0時，y=4．當y=0時，0=-+4，即x=0，
∴D（0，4），E（3，0）；

（2）∵AB=9，CB=12，
∴==．
∵D（0，4），E（3，0），
∴OD=4，OE=3，
∴=，
∴=．
又∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴△ABC∽△EBD，
∴∠ACB=∠EDB．
又∵∠BPE=∠BDE，
∴∠BPE=∠ACB；

（3）∵∠BPE=∠ACB，∠PBE=∠CBM，
∴△BMC∽△BEP，
∴=，即=，
∴y=．
當OM⊥AC時，OM最短．
AC===15．
S_△ABC=AC•OM=AB•BC，即15•OM=9×12，
∴OM=，
∴自變量x的取值范圍是≤x＜12；

（4）由（3）知，OP、OM之間，即y與x之間的函數(shù)關系式是y=（≤x＜12）．
∵反比例函數(shù)y=位于第一象限，
∴y的值隨x的增大而減小，
∴當x=時，y取最大值，y_最大==5．即線段OP長度的最大值是5．
分析：（1）根據(jù)直線方程y=-+4來求點D、E的坐標；
（2）由坐標與圖形的特點證得△ABC∽△EOD，則相似三角形的對應角∠ACB=∠EDO；然后結合已知條件“∠BPE=∠BDE”，利用等量代換證得∠BPE=∠ACB；
（3）由相似三角形（△BMC和△BEP）的對應邊成比例可以寫出y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=；當OM⊥AC時，OM最短．所以利用勾股定理、三角形的面積公式求得OM=，當點M與點C重合時，OM取最大值12；
（4）由（3）中反比例函數(shù)y=的增減性知，當x取最小值時，y取最大值．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識點．在證明三角形相似的題目時，注意充分利用“公共邊、公共角”等隱含性的條件．