Question

已知α，β是關(guān)于x的二次方程x²+（2m-1）x+m²=0的二正根
（1）求m的取值范圍；
（2）若α²+β²=49，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍，再根據(jù)兩個根為正數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式求出m的取值范圍，然后求它們的公共部分即可；
（2）先把α²+β²寫出（α+β）²-2αβ的形式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列式解關(guān)于m的一元二次方程即可．

解答：解：（1）∵方程有二正根，
∴△=（2m-1）²-4m²≥0，
即4m≤1，
解得m≤

1

4

，
又∵α＞0，β＞0，
∴α+β＞0，αβ＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，

α+β=-(2m-1)＞0 αβ=m2＞0

，
解得m＜

1

2

且m≠0，
綜上所述，m的取值范圍是m≤

1

4

且m≠0；

（2）由α²+β²=49得，（α+β）²-2αβ=49，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程（2m-1）²-2m²=49，
整理得，m²-2m-24=0，
即（m+4）（m-6）=0，
∴m+4=0，m-6=0，
解得m=-4或m=6，
又由（1）知m≤

1

4

且m≠0，
∴m=-4．
故答案為：（1）m≤

1

4

且m≠0，（2）m=-4．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系列式是解題的關(guān)鍵，本題中先根據(jù)根的判別式求出m的取值范圍容易漏掉而導(dǎo)致出錯．