Question

在平面直角坐標(biāo)系中，M是雙曲線（x＜0）上一點(diǎn)，把雙曲線（x＜0）關(guān)于y軸作對(duì)稱，點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，6），作NA⊥x軸于A，NB⊥y軸于B．
（1）如圖1，以O(shè)A為一邊在四邊形OANB內(nèi)部作等邊△OAC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在（1）的前提下，在平面內(nèi)找到點(diǎn)D，使以O(shè)、C、N、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若在四邊形BOAN內(nèi)部有一點(diǎn)P，滿足∠PBN=∠PNB=15°，連接PO、PA．求證：△POA為等邊三角形．

Answer 1

解：（1）過C作CG⊥OA，交OA于點(diǎn)G，交BN于點(diǎn)H，如圖1所示，
由對(duì)稱性得到過點(diǎn)N的反比例解析式為y=，
將N（m，6）代入反比例解析式得：6=，
解得：m=6，
∴N（6，6），即NB=NA=6，
∵NB⊥y軸，NA⊥x軸，BO⊥AO，
∴四邊形AOBN為邊長是6的正方形，
∵△AOC為等邊三角形，
∴OC=OA-AC=6，OG=AG=3，
在Rt△OCG中，根據(jù)勾股定理得：CG==3，
則C（3，）；

（2）分三種情況考慮，如圖1所示：四邊形OCND₁，四邊形OND₂C，四邊形ONCD₃為平行四邊形，
根據(jù)題意得：CN=OD₁，又HN=OG=3，
∴Rt△CHN≌Rt△D₁GO（HL），
∴D₁G=CH=HG-CG=6-3，
此時(shí)D₁（3，6-3），
根據(jù)題意得到N為D₁D₂的中點(diǎn)，O為D₁D₃的中點(diǎn)，N（6，6），O（0，0），
∴D₂（9，6+3），D₃（-3，3-6）；
（3）∵∠PBN=∠PNB=15°，
∴PB=PN，∠PBO=∠PNA=75°，
∵四邊形AOBN為正方形，
∴OB=AN，
∵在△BPO和△NPA中，
，
∴△BPO≌△NPA（SAS），
∴OP=PA，
在四邊形BOAN外部做等邊△BNQ，連接PQ，如圖2所示，
∴∠QBN=∠QNB=60°，QB=QN=BN=OB=NA，
∴∠OBP=∠QBP=∠QNP=75°，
∵在△QBP和△OBP中，
，
∴△QBP≌△OBP（SAS），
同理得到△QNP≌△ANP，
∴∠QPB=∠OPB=∠QPN=∠APN=75°，
∴∠OPA=60°，
則△AOP為等邊三角形．
分析：（1）過C作CG⊥OA，交OA于點(diǎn)G，交BN于點(diǎn)H，如圖1所示，由對(duì)稱性得到過N雙曲線的解析式，求出m的值，確定出N坐標(biāo)，可得出四邊形AOBN為邊長是6的正方形，由三角形AOC為等邊三角形，利用三線合一得到G為OA的中點(diǎn)，求出OG的長，利用勾股定理求出CG的長，即可確定出C的坐標(biāo)；
（2）這樣的點(diǎn)D有三個(gè)位置，如圖1所示，根據(jù)HN=OG，CN=OD₁，利用HL得到三角形CHN與三角形OGD₁全等，得到D₁G=CH=HG-CG，求出D₁的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)N為D₁D₂的中點(diǎn)，O為D₁D₃的中點(diǎn)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D₂與D₃的坐標(biāo)即可；
（3）由已知的一對(duì)角相等，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)邊BP=NP，過四邊形AOBN外做一個(gè)等邊三角形BNQ，連接PQ，可得出BQ=NQ=BN=BO=AN，∠QBN=∠QNB=60°，求出∠QBP=∠OBP=75°，再由BP為公共邊，利用SAS得到三角形QBP與三角形OBP全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OP=PQ，同理三角形NQP與三角形APN全等，得到AP=PQ，可得出OP=AP，同時(shí)得到∠OBP=∠QBP=∠QNP=75°，求出∠OPA=60°，即可確定出三角形AOP為等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．