Question

如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上的一點，且PA=PD，⊙O為△APD
的外接圓．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AC=8，tan∠DAC=21，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,菱形的性質(zhì),解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OA、OP，設(shè)OP與AD交于點H，如圖，由PA=PD得PA弧=PD弧，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，則∠AHP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠DAC=∠BAC，
而∠OAP=∠OPA，則∠OAB=∠OAP+∠BAC=∠OPA+∠DAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到直線AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)BD交AC于點E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，AE=

1

2

AC=4，在Rt△ADE中，利用正切的定義得tan∠DAE=

DE

AE

=

1

2

，則DE=2，
再利用勾股定理計算出AD=2

5

，根據(jù)垂徑定理由OP⊥AD得AH=DH=

1

2

AD=

5

；在Rt△AHP中，再利用正切的定義得tan∠PAH=

PH

AH

=

1

2

，所以HP=

5

2

，然后再在Rt△AHO中，根據(jù)勾股定理得（

5

）²+（r-

1

2

5

）²=r²，然后解方程即可．

解答：解：（1）直線AB與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OA、OP，設(shè)OP與AD交于點H，如圖，
∵PA=PD，
∴PA弧=PD弧，
∴OP⊥AD，
∴∠AHP=90°
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
在Rt△AHP中，∵∠DAP+∠OPA=90°，
∴∠OAB=∠OAP+∠BAC=∠OPA+∠DAP=90°，
即OA⊥AB，
∵點A在⊙O上，
∴直線AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)BD交AC于點E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=

1

2

AC=4，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=

DE

AE

=

1

2

，
∴DE=2，
∴AD=

AE2+DE2

=

22+42

=2

5

，
∵OP⊥AD，
∴AH=DH=

1

2

AD=

5

，
在Rt△AHP中，tan∠PAH=

PH

AH

=

1

2

，
∴HP=

5

2

，
在Rt△AHO中，∵AH²+OH²=OA²，
∴（

5

）²+（r-

1

2

5

）²=r²，
解得r=

5

4

5

，
即⊙O的半徑為

5 5

4

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形．