Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)是邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線．設(shè)交的平分線于點(diǎn)，交的外角平分線于點(diǎn)，連接、．

那么當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并說(shuō)明理由．

在的前提下滿足什么條件，四邊形是正方形？（直接寫出答案，無(wú)需證明）

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，理由詳見解析；（2）在的前提下，滿足時(shí)，四邊形是正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質(zhì)有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

（2）由（1）得出四邊形AECF是矩形，再由平行線得出AC⊥EF，得出四邊形AECF是菱形，即可得出結(jié)論．

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形；理由如下：

如圖所示：

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四邊形是矩形．

在的前提下，滿足時(shí)，四邊形是正方形；理由如下：

∵由得：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，

∵，當(dāng)時(shí)，

∴，

∴，

∴四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形．