Question

在等邊△ABC中，邊AB=2cm，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是從點(diǎn)B沿B→A→C的方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，速度為1cm/s，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，

（1）當(dāng)△BED是直角三角形時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)DE將△ABC的周長(zhǎng)分成的兩部分之間是2倍的關(guān)系時(shí)，求t的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E只在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)E使得DE+BE的值取得最小值？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)DE+BE的最小值（不要求寫(xiě)過(guò)程）．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,一元一次方程的應(yīng)用,含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：分類(lèi)討論

分析：（1）分兩種情況討論即可求得；
（2）由于動(dòng)點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)，沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況進(jìn)行討論：（1）E點(diǎn)在AB上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，用含t的代數(shù)式分別表示BE，AE，根據(jù)條件過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線將△ABC的周長(zhǎng)分成兩個(gè)部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t值；（2）E點(diǎn)在AC上，同理，可解出t的值．
（3）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，然后連接BD交AC于E，即為所求；此時(shí)DE+BE=B′D，作BG⊥BC于G，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)求得B′G=

3

，BG=3，進(jìn)而求得DG，根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：（1）分兩種情況：

當(dāng)∠BED=90°時(shí)，
如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=

1

2

BD，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
∴BE=

1

2

cm，
∴t=

1

2

秒；
當(dāng)∠BDE=90°時(shí)，
∵△ABC是等邊三角形，BD=DC，
∴E與A重合，
∴BE=AB=2cm．
∴t=2秒
（2）分兩種情況：

E點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖，
∵AB=AC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，
設(shè)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒，則BE=t，AE=2-t，由題意得：
BE+BD=

1

2

（AE+AC+CD），
∴t+1=

1

2

（2-t+2+1），
解得t=1秒；
E點(diǎn)在AC上時(shí)，如圖，
∵AB=AC=BC=2cm，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×2=1cm，E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒，
則AB+AE=t，EC=AB+AC-t=4-t，
由題意得：BD+AB+AE=2（EC+CD），
∴1+t=2（4-t+1），
解得t=3秒．
故當(dāng)t=1或3秒時(shí)，DE把△ABC的周長(zhǎng)分成的兩部分之間是2倍的關(guān)系．
（3）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，然后連接BD交AC于E，即為所求；此時(shí)DE+BE=B′D；
作BG⊥BC于G，

∴△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴∠B′BC=30°，B′B=2

3

，
∴B′G=

3

，BG=3，
∵BD=CD=1，
∴DG=2，
在RT△B′GD中，B′D=

DG2+B′G2

=

7

．
∴DE+BE的最小值=

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，還涉及到了動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于初二學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，解答此題時(shí)要分兩種情況討論，不要漏解．