Question

18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC上一動點，CE⊥AD于P，交AB于點E，（3）若AC=2，O為AB中點，連接PO，如圖3，求∠APO的度數(shù)．
（1）若AD平分∠BAC，如圖1，求證：BE=CD；
（2）若D為BC的中點，如圖2，求證：AE=2BE；
（3）若AC=2，O為AB中點，連接PO，如圖3，求∠APO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作輔助線，構(gòu)建△ACD≌△CBG，再證明BE=BG可得結(jié)論；
（2）如圖2，證明△AEC∽△BEG，根據(jù)對應邊的比：$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$，可得結(jié)論；
（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等腰直角三角形，證明CP=BF，所以Rt△CDP≌Rt△BGF，得∠PCD=∠FBG，再證明△OCP≌△OBF，可以得△POF是等腰直角三角形，可得∠APO=90°-45°=45°．

解答 證明：（1）如圖1，過B作BG⊥BC，交CE的延長線于G，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCD=90°，
∵AD⊥CE，
∴∠APC=90°，
∴∠ACP+∠CAD=90°，
∴∠PCD=∠CAD，
∵∠ACD=∠CBG=90°，
AC=BC，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD=BG，
∵∠CBG=90°，∠ABC=45°，
∴∠EBG=45°，
∵∠BEG=∠AEC=90°-$\frac{45°}{2}$=67.5°，
∴∠G=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠G=∠BEG，
∴BE=BG，
∴CD=BE；
（2）如圖2，過B作BG⊥BC，交CE的延長線于G，
同（1）得：△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，
∵D是BC的中點，
∴CD=BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵BG∥AC，
∴△AEC∽△BEG，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$，
∴AE=2BE，
（3）如圖3，過B作BG⊥BC，交CE的延長線于G，過B作BF⊥CE于F，連接OC、OF，
易證明△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，∠ADC=∠G，AD=CG，
∵S_△ACD=S_△CBG，
∴$\frac{1}{2}$AD•CP=$\frac{1}{2}$CG•BF，
∴CP=BF，
∴Rt△CDP≌Rt△BGF（HL），
∴∠PCD=∠FBG，
在Rt△ACB中，O是AB的中點，
∴CO=BO，
∵∠OCP=90°-∠ACO-∠PCD，
∠OBF=90°-∠ABC-∠FBG，
∵∠ACO=∠ABC=45°，
∴∠OCP=∠OBF，
∴△OCP≌△OBF，
∴OP=OF，∠COP=∠BOF，
∴∠POF=90°，
∴△POF是等腰直角三角形，
∴∠OPF=45°，
∵∠APE=90°，
∴∠APO=90°-45°=45°．

點評 本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，本題能證明△ACD≌△CBG是關(guān)鍵，第二問利用三角形相似得出AE和BE的關(guān)系，第三問根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，再構(gòu)建一對三角形全等，使問題得以解決．