Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的半圓O交BC于點E，DE⊥AB，垂足為D．

（1）求證：點E是BC的中點；

（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結(jié)論；

（3）如果⊙O的直徑為9，cosB=，求DE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）DE是⊙O的切線，證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易證.

（2）相切，連接OE，證明OE⊥DE即可，根據(jù)三角形中位線定理證明.

（3）在Rt△ABE中，可由銳角三角函數(shù)定義可求BE的長；在Rt△BDE中，可由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求DE的長.

試題解析：（1）如圖，連接AE，

∵AC是半圓O的直徑， ∴∠AEB是直角，即AE⊥BC.

又∵AB=AC，∴BE=CE（等腰三角形三線合一）.∴點E是線段BC的中點.

（2）DE是⊙O的切線，證明如下：

如圖，連接OE，

∵BE=EC，OA=OC，∴OE∥AB.

∵AB⊥DE，∴OE⊥DE.

∴DE是⊙O的切線.

（3）∵AC是⊙O的直徑， ∴∠AEB=∠AEC=900.

∵AC=9，AB=AC，∴AB=9.

在Rt△ABE中，∵AB=9，，∴BE=3.

在Rt△BDE中， ∵，∴BD=1.

在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：.

考點：1.圓周角定理；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.三角形中位線定理；4.切線的判定；5.銳角三角函數(shù)定義；6.勾股定理.