Question

若(c－a)²－4(a－b)(b－c)＝0，求證：2b＝c＋a．

Answer 1

答案：
解析：

證明：當(dāng)a－b＝0時(shí)，由已知等式可得a＝b＝c，于是2b＝c＋a； 　　當(dāng)a－b≠0時(shí)，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0， 　　∵(a－b)＋(c－a)＋(b－c)＝0， 　　∴1是方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0的一個(gè)根， 　　∵△＝(c－a)2－4(a－b)(b－c)＝0， 　　∴方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1， 　　∴x1·x2＝＝1， 　　∴2b＝c＋a． 　　分析：此題證法較多，若注意到已知等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到它是關(guān)于x的某個(gè)一元二次方程的根的判別式為零的情形，采取構(gòu)造方程的方法解決起來(lái)更為直觀、簡(jiǎn)明． 　　點(diǎn)評(píng)：利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程，由根的特殊性和根與系數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題巧妙得證．