Question

如圖所示，在⊙O中，半徑OB⊥OE于O點，C是OE延長線上一點，過C點作CA切⊙O于A點，連接AB交OE于D點，求證：CA=CD．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：連接OA， ∵AC是切線， ∴∠OAC=90°，即∠OAD=∠DAC=90° ∵OB⊥OE，∴∠DOB=90°． ∴∠B＋∠ODB=90°，即∠B＋∠ADC=90°． ∴∠OAD＋∠DAC=∠B＋∠ADC． ∵OA=OB，∴∠B=∠OAD． ∴∠DAC=∠ADC，∴CA=CD． 證法二：延長BO交⊙O于F點． ∵FB是直徑，∴∠FAD=90°． ∵BO⊥OE，∴∠FOD=90°．∴∠F＋∠ADO=180°， ∵∠ODA＋∠ADC=180°，∴∠F=∠ADC． ∵AC是切線， ∴∠DAC=∠F．∴∠DAC=∠ADC．∴CA=CD． 證法三：連接AE、BE． ∵AC是切線，∴∠CAE=∠DBE． ∵OB=OE且BO⊥OE，∴∠OEB=45°． ∵∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠DEB． ∵∠ADC=∠DBE＋∠DEB，且∠DAC=∠DAE＋∠EAC，∴∠ADC=∠DAC，∴CA=CD．

提示：

由于所證兩條線段交于點C，且CA是切線長，CD既不是切線也不是弦，因此無法直接證明，這時只有轉化關系，尋求角的關系了．考慮到存在∠BOC=90°，且∠ADC與之相關，因此只有把∠DAC也放到直角三角形中才能溝通關系；從另一個角度考慮，有切線必然存在弦切角，這時利用不同的弦切角溝通關系也可構成不同的證明方法．