Question

已知：如圖，矩形ABCD中AB：BC=5：6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，EC=BC，F(xiàn)C=CD，F(xiàn)G⊥AE與G．求證：AG=4GE．

Answer 1

證明：如圖∵矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB：BC=5：6，EC=BC，F(xiàn)C=CD，
∴DF=CD．
∴==2，===2，
∴=．
又∵∠ECF=∠FDF，
∴△CEF∽△DFA，
==2，∠AFD=∠FEC，
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°．
又∵FG⊥AE，
∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴=，即==2，則AG=2FG．
==2，則EG=FG，
∴AG=4EG．
分析：易得==2，則△CEF∽△DFA，得=2與∠AFE=90°．所以通過(guò)相似三角形：△AFE∽△AGF的對(duì)應(yīng)邊成比例得到==2，則AG=2FG．△AFG∽△FEG的對(duì)應(yīng)邊成比例得到
==2，則EG=FG，由此易證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)．此題難度較大，知識(shí)綜合性較強(qiáng)．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意充分利用公共角這一條件．