Question

3．如圖，以矩形OCPD的頂點O為原點，它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標系．以點P為圓心，PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點．若拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A，B，C三點，且AB=6．
（1）求⊙P的半徑R的長；
（2）求該拋物線的解析式；
（3）求出該拋物線與⊙P的第四個交點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理可得AD=DB=3，在Rt△PAD中，根據(jù)PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$即可解決問題．
（2）先確定A、B兩點坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．
（3）根據(jù)對稱性即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，連接PA．

∵PD⊥AB，
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵拋物線y=ax²+bx+4與y軸交于點C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵四邊形PDOC是矩形，
∴PD=OC=3，∠PDA=90°，
∴PC=PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴R=5．

（2）由（1）可知A（，2，0），B（8，0），
把A、B兩點坐標代入y=ax²+bx+4得到，$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．

（3）如圖2中，

根據(jù)對稱性，點C、點E關(guān)于對稱軸x=5對稱，
∵點C（0，4）
∴點E坐標（10，4）．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理、二次函數(shù)、待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．