Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且，．理解與作圖：
（1）在圖2，圖3中，點E，F分別在BC，CD邊上，試利用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．計算與猜想：
（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？啟發(fā)與證明：
（3）如圖4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想．

Answer 1

解：（1）作圖如下：

（2）在圖2中，，
∴四邊形EFGH的周長為．
在圖3中，，．
∴四邊形EFGH的周長為．
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值．
（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N．∵，，∴．而，∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴，．
同理：，．∴．
∵，，∴．    ∴．
過點G作GK⊥BC于K，則．
∴．∴四邊形EFGH的周長為．
證法二：∵，，    ∴．而，   
 ∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴，．
∵，，而，  
∴．∴HE∥GF．    同理：GH∥EF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∴．     而，∴Rt△FDG≌Rt△HBE．  
   ∴．8分過點G作GK⊥BC于K，則．
∴．
∴四邊形EFGH的周長為．