Question

如圖，△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，面積為S，△ABC的三邊中點(diǎn)組成△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁的三邊中點(diǎn)組成△A₂B₂C₂，如此進(jìn)行下去，得到△A_nB_nC_n，則△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為

 

，面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)三角形中位線定理可求得三邊的長(zhǎng)，從而不難求得△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)，同理可求得另一三角形的周長(zhǎng)，以此類推，從而可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；由于A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

，就可求出S△A₁B₁C₁=

1

4

，同樣地方法得出S△A₂B₂C₂=

1

16

，S△A₃B₃C₃=

1

64

…所以就可以求出S△A_nB_nC_n的值．

解答：解：如圖所示：
∵A₁B₁，B₁C₁，A₁C₁是△ABC的三條中位線，
∴A₁B₁=

1

2

AB，A₁C₁=

1

2

AC，C₁B₁=

1

2

CB，
∴△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)=

1

2

（AB+AC+CB）=

1

2

L．
同理：A₂B₂C₂的周長(zhǎng)為

1

4

L，△A₃B₃C₃的周長(zhǎng)為

1

8

L，
∴△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為

1

2n

L；
∵A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位線，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=S
∴S_△A1B1C1=

1

4

S．
∵A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中點(diǎn)，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比為

1

2

∴S_△A2B2C2=

1

16

S．依此類推
∴S_△A3B3C3=

1

64

…
∴S_△AnBnCn=

1

22n

．
故答案為：

1

2n

L，

1

22n

S．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．