Question

在直徑為4cm的⊙O中，長度為2

3

cm的弦BC所對的圓周角的度數(shù)為

60°或120°

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：D在優(yōu)弧ADB上或E在劣弧AB上時，可得弦AB所對的圓周角為∠D或∠E；根據(jù)題意畫出相應的圖形，作OC垂直于AB，利用垂徑定理得到C為AB的中點，由AB的長求出AC的長，再由直徑的長求出AO的長，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出∠OAC的度數(shù)，由OA=OB，利用等邊對等角得到∠OAC=∠OBC，利用內(nèi)角和定理求出圓心角∠AOB的度數(shù)，利用圓周角定理求出∠D的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補即可求出∠E的度數(shù)，確定出AB所對圓周角的度數(shù)．

解答：解：分兩種情況考慮：D在優(yōu)弧ADB上或E在劣弧AB上時，可得弦AB所對的圓周角為∠D或∠E；
根據(jù)題意畫出相應的圖形，作OC⊥AB，可得C為AB的中點，
∴AC=BC=

1

2

AB=

3

cm，
又直徑為4cm，
∴OA=2cm，
在Rt△AOC中，cos∠OAC=

AC

OA

=

3

2

，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠D=

1

2

∠AOB=60°，
又圓內(nèi)接四邊形的對角互補，
∴∠E=120°，
則弦AB所對的圓周角為60°或120°．
故答案為：60°或120°

點評：此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．