Question

在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為4，A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作⊙A的切線BC交x軸于B
（1）求直線BC的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)在直線BC上，與x軸的交點(diǎn)恰為⊙A與x軸的交點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）問(wèn)C點(diǎn)是否在所求的拋物線上？

Answer 1

解：（1）連接AC，
∵BC是⊙A的切線，
∴∠BCA=90°，
∵⊙A的半徑為4，A的坐標(biāo)為（2，0），
∴C（0，），
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△ACB，
∴AC²=OA•AB，
∵4²=2×AB得AB=8，
∴B（-6，0），
∴直線BC的解析式為y=x+2；

（2）∵E（-2，0）、F（6，0），
設(shè)y=a（x+2）（x-6）=a（x-2）²-16a，
由于頂點(diǎn)在直線BC上，
故（2，-16a）代入y=x+2，
可得a=-，
∴求得拋物線的解析式為y=-x²+x+2；

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C點(diǎn)在所求的拋物線y=-x²+x+2上．
分析：（1）首先連接AC，在Rt△AOC中，由⊙A的半徑為4，A的坐標(biāo)為（2，0）求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，又由△AOC∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后又待定系數(shù)即可求得直線BC的解析式；
（2）首先求得點(diǎn)與F的坐標(biāo)，然后設(shè)兩點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）（x-6），又由頂點(diǎn)在直線BC上，即可求得拋物線的解析式；
（3）由當(dāng)x=0時(shí)，y=2，可得C點(diǎn)在所求的拋物線y=-x²+x+2上．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是要注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．