Question

如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FE=DE．
小韜同學(xué)是一位聰明好學(xué)而且有鉆研精神的同學(xué)，他發(fā)現(xiàn)∠DEF=∠DBF=90°，于是可以得到B、F、D、E四點(diǎn)共圓．
（1）請(qǐng)你幫小韜同學(xué)確定該圓的直徑為

 

．
（2）請(qǐng)?jiān)趫D中作出該圓．小韜同學(xué)發(fā)現(xiàn)

DE

對(duì)兩個(gè)圓周角∠DBE=∠DFE=45°，于是△DEF為等腰直角三角形，于是不用證全等就證明了FE=DE；
（3）通過以上材料解決下列問題，△ABC是等邊三角形，D為邊BC上一點(diǎn)，∠ADE=60°，DE交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)E，于是猜測(cè)AD

 

DE（“＞”“=”或“＜”），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠DEF=∠DBF=90°，即可得DF是直徑．
（2）首先根據(jù)題意畫出圓，然后由圓周角定理，即可證得∠EDF=∠EFD=45°，則可得FE=DE；
（3）由∠ADE=∠ACE=60°，可得A，D，C，E共圓，然后由圓周角定理證得△ADE是等邊三角形，則可證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠DEF=∠DBF=90°，
∴DF是直徑．
故答案為：DF．

（2）如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBE=45°，
∴∠DFE=∠DBE=45°，
∵DF是直徑，
∴∠DEF=90°，
∴∠EDF=∠EFD=45°，
∴FE=DE；

（3）AD=DE．
理由：如圖2，連接AE，
∵∠ADE=∠ACE=60°，
∴A，D，C，E共圓，
∴∠AED=∠ACB=60°，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE．
故答案為：=．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．