Question

如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，與的延長線相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長與相交于點(diǎn)，延長與的延長線相交于點(diǎn)

（1）求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若，且的半徑長為，求和的長度．

Answer 1

1）證明：是的直徑，是的切線，

．

又，．

易證，．

．．

是的中點(diǎn)，．．

（2）證明：連結(jié)．

是的直徑，．

在中，由（1），知是斜邊的中點(diǎn)，

．．

又，．

是的切線，．

，是的切線．

（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．，．

由（1），知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，

四邊形是矩形，．

，易證．

，即．

的半徑長為，．

．解得．．

，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（負(fù)值舍去）．．

［或取的中點(diǎn)，連結(jié)，則．易證，

，故，．

由，易知，．

由，解得．

又在中，由勾股定理，得，（舍去負(fù)值）．］