Question

（2013•思明區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙A與邊AB、AC交于點(diǎn)D、E，劣弧

DE

的長(zhǎng)為

4π

3

．P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠DPE=60°
（1）求⊙A的半徑；
（2）若BC=4

3

，判斷邊BC與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求得劣弧

DE

所對(duì)的圓周角∠DAE=120°，所以根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=

nπr

180

來(lái)求該圓的半徑；
（2）BC與⊙A相切．如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，欲證明BC與⊙A相切，只需證得AF=r即可．

解答：（1）解：設(shè)⊙O的半徑為r．
∵∠DPE=60°，
∴∠DAE=120°
∵劣弧

DE

的長(zhǎng)為

4π

3

，設(shè)⊙A的半徑為r，
∴

nπr

180

=

4π

3

，即

120πr

180

=

4π

3

∴r=2；

（2）BC與⊙A相切．
如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AB=AC，AF⊥BC  BC=4

3

∴BF=

1

2

BC=2

3

，
∠BAF=

1

2

∠BAC=60°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠BAF=60°
∴tan∠BAF=

BF

AF

，即

2 3

AF

=

3

．
∴AF=2=r．
∴BC與⊙A相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、弧長(zhǎng)的計(jì)算．切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過(guò)半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．