Question

已知A₁、A₂、A₃是拋物線(xiàn)上的三點(diǎn),A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線(xiàn)A₂B₂交線(xiàn)段A₁A₃于點(diǎn)C。

（1） 如圖1，若A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，求線(xiàn)段CA₂的長(zhǎng)。

（2）如圖2，若將拋物線(xiàn)改為拋物線(xiàn)，A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線(xiàn)段CA₂的長(zhǎng)。

（3）若將拋物線(xiàn)改為拋物線(xiàn)，A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請(qǐng)猜想線(xiàn)段CA₂的長(zhǎng)（用a、b、c表示，并直接寫(xiě)出答案）。

Answer 1

解：（1）∵A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為1、2、3，

∴A₁B₁= ，A₂B₂＝，A₃B₃＝

設(shè)直線(xiàn)A₁A₃的解析式為y＝kx＋b。

∴ 解得

∴直線(xiàn)A₁A₂的解析式為。

∴CB₂＝2×2－＝

∴CA₂=CB₂－A₂B₂=－2＝。

　(2)設(shè)A₁、A₂、A₃三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次n－1、n、n＋1。

　　　　　　　 則A₁B₁= ，A₂B₂=n²－n＋1，

　　　　　　　　 A₃B₃=(n＋1)²－（n＋1）＋1。

設(shè)直線(xiàn)A₁A₃的解析式為y＝kx＋b

∴

解得

∴直線(xiàn)A₁A₃的解析式為

∴CB₂＝n（n－1）－n²＋＝n²－n＋

∴CA₂= CB₂－A₂B₂=n²－n＋－n²＋n－1＝。

　　　　　(3)當(dāng)a＞0時(shí)，CA₂＝a；當(dāng)a＜0時(shí)，CA₂＝－a