Question

在平面直角坐標系xOy中，邊長為5的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．
（1）當點坐標為A（4，0）時，求點D的坐標；
（2）求證：OP平分∠AOB；
（3）直接寫出OP長的取值范圍（不要證明）．

Answer 1

解：（1）作DM⊥x軸于點M，
∴∠AMD=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AMD=∠AOB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠DAM=90°．
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAM=∠OBA．
在△DMA和△AOB中，
，
∴△DMA≌△AOB，
∴AM=OB，DM=AO．
∵A（4，0），
∴OA=4，
∵AB=5，在Rt△AOB中由勾股定理得：
OB==3．
∴AM=3，MD=4，
∴OM=7．
∴D（7，4）；
（2）證明：作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點
∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，
∴∠FPB=∠EPA，
∵∠PFB=∠PEA，BP=AP，
∴△PBF≌△PAE，
∴PE=PF，
∴點P都在∠AOB的平分線上．
（3）作PE⊥x軸交x軸于E點，作PF⊥y軸交y軸于F點，則PE=h，設∠APE=α．
在直角△APE中，∠AEP=90°，PA=．
∴PE=PA•cosα=cosa．
∵頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），
∴0°≤α＜45°，
∴＜cosa≤1．
∴＜PE≤，．
∵OP=PE，
∴＜OP≤5．
分析：（1）作DM⊥x軸于點M，由A（4，0）可以得出OA=4，由勾股定理就可以求出OB=3，再通過證明△AOB≌△DMA就可以求出AM=OB，DM=OA，從而求出點D的坐標．
（2）過P點作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明OP是角平分線．
（3）因為OP是∠AOB的平分線上，就有∠POA=45°，就有OP=PE，在Rt△APE中運用三角函數(shù)就可以表示出PE的范圍，從而可以求出OP的取值范圍．．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)（四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一組對角）以及坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理的運用，銳角三角函數(shù)的運用．