Question

如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AD=3

10

cm，AD平分∠BAC，則AC的長(zhǎng)（　　）

• A、4

  5

  cm
• B、8cm
• C、2

  10

  cm
• D、6cm

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：連接BC，CD，BD，OD，根據(jù)圓周角定理可得CD=BD，根據(jù)垂徑定理的推理得OD垂直平分BC，可得BD²-DE²=OB²-OE²，再根據(jù)DE+OE=OD即可求得OE的長(zhǎng)，即可求得sin∠OBE的值，根據(jù)AB即可求得AC的值．

解答：解：連接BC，CD，BD，OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴CD=BD，
∴OD垂直平分BC，
∴DE²+BE²=BD²，OE²+BE²=OB²，
∴BD²-DE²=OB²-OE²，
∵∠ADB是直徑AB所對(duì)圓周角，
∴∠ADB=90°，
∴BD=

AB2-AD2

=

10

cm，
∵OB=5cm，
∴10-DE²=25-OE²，
∵DE+OE=5cm，
∴DE=1cm，OE=4cm．
∴sin∠EBO=

4

5

，
∴AC=AB•sin∠EBO=8cm．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了直角三角形中三角函數(shù)的運(yùn)用，考查了圓周角定理，本題中求得DE和OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．