Question

（2012•北塘區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=

3

．動(dòng)點(diǎn)O在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接CD．
（1）如圖1，當(dāng)直線CD與⊙O相切時(shí)，請(qǐng)你判斷線段CD與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)∠ACD=15°時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD．根據(jù)切線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角，求得∠ACD的度數(shù)，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明CD=AD；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，在Rt△BCF中，可求BF的長(zhǎng)，在Rt△CDF中，可求DF的長(zhǎng)，根據(jù)AD=AB-BF-FD可以求解．

解答：（1）答：CD=AD．        
證明：如圖1，連接OD．
∵直線CD與⊙O相切．
∴∠COD=90°，
又∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO=30°．
∴∠COD=60°．
∴∠ACD=30°． 
∴∠ACD=∠A  
∴CD=AD；

（2）解：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F．
∵∠A=30°，BC=

3

，
∴AB=2

3

．    
∵∠ACD=15°，
∴∠BCD=75°，∠BDC=45°．
在Rt△BCF中，可求BF=

3

2

，CF=

3

2

．
在Rt△CDF中，可求DF=

3

2

．        
∴AD=AB-BF-FD=2

3

-

3

2

-

3

2

=

1

2

（3

3

-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．