Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABC的平分線BD交⊙O于D，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AB=10，BD=8，求線段EC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠ODB=∠DBE；證明∠ODB+∠BDE=90°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線，求出AD，進而求出AF；證明△ADF≌△CED，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；而BD平分∠ABE，
∴∠OBD=∠DBE，
∴∠ODB=∠DBE；而DE⊥BE，
∴∠BDE+∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線．
（2）如圖，連接AD、DC，過點D作DF⊥AB于點F；
∵BD平分∠ABE，DE⊥BE，
∴DE=DF；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，而AB=10，BD=8，
∴由勾股定理得：AD²=AB²-BD²=36，
由射影定理得：AD²=AF•AB，
∴AF=3.6；
∵∠ABD=∠EBD，
∴AD=DC；
在△ADF與△CED中，

AD=DC DF=DE

，
∴△ADF≌△CED（HL），
∴EC=DF=3.6．

點評：該題以圓為載體，以考查切線的判定、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、射影定理等重要幾何知識點為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．