Question

如圖1，已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點(diǎn)．
（1）求證：CD=BD；
（2）如圖2，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于D點(diǎn)，使兩直角邊分別與AC、CB邊交于E、F．
①試判斷DE與DF是否相等，并說明理由；
②當(dāng)BC=23，AE=15時(shí)，求BF、EF的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由AC=BC，CD為AB邊上的中線，利用三線合一得到CD為角平分線，且CD垂直于AB，得到△ACD與△BCD都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得證；
（2）①DE=DF，理由為：過D作DG⊥AC，DH⊥BC，證明三角形DEG與三角形DFG全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
②利用SAS得到三角形AED與三角形CFD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=CF，進(jìn)而確定出CE=BF，求出EC與CF的長，在直角三角形ECF中，利用勾股定理即可求出EF的長．

解答：（1）證明：∵Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=45°，CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD=45°，且CD⊥AB，
∴△ACD與△BCD都為等腰直角三角形，
∴AD=CD=BD；

（2）解：①DE=DF，理由為：
過D作DG⊥AC，DH⊥BC，
∵∠EDF=∠GDH=90°，
∴∠GDE+∠EDH=90°，∠EDH+∠FDH=90°，
∴∠GDE=∠FDH，
∵CD平分∠ACB，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴DG=DH，
在△DEG和△DFH中，

∠GDE=∠HDF ∠DGE=∠DHF=90° DG=DH

，
∴△DEG≌△DFG（AAS），
∴DE=DF；
②在△AED和△CFD中，

AD=CD ∠ADE∠CDF DE=DF

，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴AE=CF=15，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF=23-15=8，
在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得：EF=

EC2+FC2

=

152+82

=17．

點(diǎn)評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．