Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D．給出以下五個結論：
①BD=DC；②CB=2ED；③

AE

=

DE

；④∠A=∠EDC；⑤△ABC∽△DCE．
其中正確結論的序號是

①②④⑤

．

Answer 1

分析：連接AD，BE，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD與BC垂直，BE與AE垂直，由AB=AC，利用三線合一得到D為BC的中點，可得出BD=CD，在直角三角形BEC中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出BC=2ED，而當∠EAD=∠EDA時，

AE

=

DE

，此時△ABC為等邊三角形，當△ABC不是等邊三角形時，∠EAD≠∠EDA，則

AE

≠

DE

，由圓內接四邊形的外角等于它的內對角得到∠A=∠EDC，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABC∽△DCE．

解答：解：連接AD，BE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴D為BC的中點，即BD=CD，
故選項①正確；
在Rt△BEC中，D為斜邊BC的中點，
∴BC=2ED，故選項②正確；
當∠EAD=∠EDA時，

AE

=

DE

，此時△ABC為等邊三角形，
當△ABC不是等邊三角形時，∠EAD≠∠EDA，則

AE

≠

DE

，
故選項③錯誤；
∵∠EDC為圓內接四邊形ABDE的外角，
∴∠EDC=∠BAC，故選項④正確；
∵∠EDC=∠BAC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，故選項⑤正確，
綜上，正確選項為①②④⑤．
故答案為：①②④⑤

點評：此題考查了圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，以及圓內接四邊形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．