Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E，F(xiàn)分別是邊AC，AB的中點，延長BC到點D，使2CD=BC，連接DE．
（1）如果AB=10，求DE的長；
（2）延長DE交AF于點M，求證：點M是AF的中點．

Answer 1

分析 （1）連接CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CF=$\frac{1}{2}$AB=5，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，證明四邊形EDCF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線等分線段定理證明．

解答 解：（1）連接CF，
在Rt△ABC中，F(xiàn)是AB的中點，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵點E，F(xiàn)分別是邊AC，AB的中點，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵2CD=BC，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴四邊形EDCF是平行四邊形，
∴DE=CF=5；

（2）如圖2，∵四邊形EDCF是平行四邊形，
∴CF∥DM，
∵點E是邊AC的中點，
∴點M是AF的中點．

點評 本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．