Question

10．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直線x=m（m＞2）與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在直線x=m（m＞2）上有一點(diǎn)E（點(diǎn)E在第四象限），使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求E點(diǎn)坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）把A（1，0），B（2，0），C（0，-2）分別代入解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
故二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+3x-2；

（2）當(dāng)△EDB與△AOC相似時(shí)時(shí)，有$\frac{AO}{ED}$=$\frac{CO}{BD}$或$\frac{AO}{BD}$=$\frac{CO}{ED}$，
其中AO=1，CO=2，BD=m-2．
①當(dāng)$\frac{AO}{ED}$=$\frac{CO}{BD}$時(shí)，得$\frac{1}{ED}$=$\frac{2}{m-2}$，
解得：ED=$\frac{m-2}{2}$，
∵點(diǎn)E在第四象限，∴E₁（m，$\frac{2-m}{2}$）．
②當(dāng)$\frac{AO}{BD}$=$\frac{CO}{ED}$時(shí)，得$\frac{1}{2-m}$=$\frac{2}{ED}$，
則∴ED=2m-4．
∵點(diǎn)E在第四象限，∴E₂（m，4-2m）．
故E₁（m，$\frac{2-m}{2}$），E₂（m，4-2m）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確分類討論是解題關(guān)鍵．