Question

過(guò)梯形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)M，作底AB的平行線分別交兩腰于P和Q，AP=2PD，求：圖中的位似圖形，并分別指出位似中心和位似比．

Answer 1

考點(diǎn)：位似變換

專題：常規(guī)題型

分析：由于PM∥AB∥CD，根據(jù)相似三角形的判定易得△DPM∽△DAB，△CQM∽△CBA，△APM∽△ADC，△BQM∽△BCD，再利用相似的性質(zhì)求出它們的相似比，
然后根據(jù)位似圖形、位似中心和位似比可判斷△DPM和△DAB是位似圖形，點(diǎn)D為位似中心，位似比為

1

3

；△CMQ和△CAB是位似圖形，點(diǎn)C為位似中心，位似比為

1

3

；△APM和△ADC是位似圖形，點(diǎn)A為位似中心，位似比為

2

3

；△BMQ和△BDC是位似圖形，點(diǎn)B為位似中心，位似比為

2

3

；△MCD和△MAB是位似圖形，點(diǎn)M為位似中心，位似比為

1

2

．

解答：解：∵PM∥AB，
∴△DPM∽△DAB，相似比=

PD

DA

=

PD

PD+AP

=

1

3

，
同理可得△CQM∽△CBA，相似比=

1

3

，
∵PM∥CD，
∴△APM∽△ADC，相似比=

AP

AD

=

2

3

，
同理可得△BQM∽△BCD，相似比=

2

3

，
∵四邊形ABCD為梯形，
∴CD∥AB，
∴△MCD∽△MAB，
∵PM∥CD，
∴

PM

CD

=

AP

AD

=

2

3

，
∵PM∥AB，
∴

PM

AB

=

1

3

，
∴

CD

AB

=

1

2

，
∴△DPM和△DAB是位似圖形，點(diǎn)D為位似中心，位似比為

1

3

；
△CMQ和△CAB是位似圖形，點(diǎn)C為位似中心，位似比為

1

3

；
△APM和△ADC是位似圖形，點(diǎn)A為位似中心，位似比為

2

3

；
△BMQ和△BDC是位似圖形，點(diǎn)B為位似中心，位似比為

2

3

；
△MCD和△MAB是位似圖形，點(diǎn)M為位似中心，位似比為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行．