Question

如圖，已知直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相鄰兩平行線間的距離都為6cm；現(xiàn)把一張矩形賀年卡放在上面，賀年卡的四頂點A、B、C、D恰好落在直線l₁、l₂、l₅、l₄上，直線l₂與邊AD的交點為E，直線l₄與邊BC的交點為F，四邊形BFDE恰好為菱形．
（1）求線段AB與直線l₁所夾銳角∠BAK的大小；
（2）求矩形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）解法一：過點D作DH⊥l₁于點M，交l₂于點H，過點B作BG⊥l₁于點G，
∵l₁∥l₂，
∴∠DHE=90°，
∴∠DHE=∠BAE=90°，
∵四邊形BFDE恰好為菱形，
∴BE=DE，
在△DEH和△BEA中，，
∴△DEH≌△BEA（AAS），
∴AB=DH，
又∵DH=2×6=12cm，
∴AB=12cm，
又∵BG=6cm，
∴∠BAK=30°；

解法二：∵直線l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相鄰兩平行線間的距離都為6cm，
∴由平行線等分線段定理可知：DE=2AE，
又∵四邊形BFDE恰好為菱形，
∴BE=DE=2AE，
又∵∠BAE=90°，
∴∠ABE=30°，
∵l₁∥l₂，
∴∠BAK=∠ABE=30°；

（2）∵∠BAK=30°，∠BAE=90°，
∴∠DAM=90°-30°=60°，
又∵BG=6cm，DM=18cm，
∴AB==12cm，
AD==12cm，
∴矩形ABCD的面積為12×12=144cm²．
分析：（1）解法一：過點D作DH⊥l₁于點M，交l₂于點H，過點B作BG⊥l₁于點G，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DHE=90°，然后得到∠DHE=∠BAE，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BE=DE，然后利用“角角邊”證明△DEH和△BEA全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=DH=12，再根據(jù)BG=6cm，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答；
解法二：根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DE=2AE，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BE=DE，然后求出BE=2AE，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ABE=30°，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等解答即可；
（2）分別解直角三角形求出AB、AD，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．
點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，以及解直角三角形，平行線間的距離，作輔助線構造出直角三角形與全等三角形是解題的關鍵．