Question

正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過頂點(diǎn)D作AC的平行線，在這條線上取一點(diǎn)E，連接AE，CE，使AE=AC，AE交CD于F．則下列結(jié)論：
①CE=CF；②∠ACE=75°；③△DFE是等腰三角形；④若AB=1，則CE=

3

-1；⑤

S△DFE

S△CFA

=

2- 3

2

正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，先求出四邊形ODEG是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得GE=OD，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得∠CAE=30°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CFE=75°，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ACE=∠AEC=75°，從而判斷①、②正確；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，求出△DFE不可能是等腰三角形，判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的

2

倍求出AC的長(zhǎng)度，再求出AG、GE然后求出CG，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出CE的長(zhǎng)，判斷④正確；根據(jù)FC=EC求出DF，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計(jì)算即可得解，從而判斷⑤正確．

解答：解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G，
∵正方形的對(duì)角線AC⊥BD，DE∥AC，
∴DE⊥BD，
∴四邊形ODEG是矩形，
∴GE=OD，
∵AE=AC，AC=2•OD，
∴∠CAE=30°，
在△ACF中，∠CFE=∠CAE+∠ACD=30°+45°=75°，
在等腰△ACE中，∠ACE=∠AEC=

1

2

（180°-30°）=75°，故②正確，
∴∠AEC=∠CFE，
∴CE=CF，故①正確；
∵DE∥AC，
∴∠EDF=∠ACF=45°，∠DEF=∠CAE=30°，
∴△DFE不可能是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；
∵AB=1，
∴AE=AC=

2

AB=

2

，
在Rt△AEG中，GE=

1

2

AE=

1

2

×

2

=

2

2

，
AG=

AE2-GE2

=

2 2-( 2 2 )2

=

6

2

，
∴CG=AC-AG=

2

-

6

2

，
在Rt△CEG中，CE=

GE2+CG2

=

( 2 2 )2+( 2 - 6 2 )2

=

4-2 3

=

( 3 -1)2

=

3

-1，故④正確；
∵FC=EC=

3

-1，
∴DF=CD-FC=1-（

3

-1）=2-

3

，
∵DE∥AC，
∴△DFE∽△CFA，
∴

S△DFE

S△CFA

=（

DF

FC

）²=（

2- 3

3 -1

）²=

2- 3

2

，故⑤正確，
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④⑤共4個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造出含30°直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)．