Question

19．如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，OF平分∠COD，若OB將∠DOE分成2：3兩部分，求∠AOF的度數(shù)．

Answer 1

分析 先由OE平分∠BOC，得出∠BOC=2∠BOE，再由∠DOE被一直線分成2：3兩部分，結合圖形可知∠DOB：∠BOE=2：3，或∠DOB：∠BOE=3：2；如果設∠BOD=2x或=3x，根據(jù)平角的定義得出∠COD=180°，列出關于x的方程，解方程求出∠DOB的度數(shù)，由對頂角相等得出∠AOC=∠BOD，然后根據(jù)OF⊥CD可知∠AOF與∠AOC互余．

解答 解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵∠DOE被一直線分成2：3兩部分，
∴∠DOB：∠BOE=2：3或∠DOB：∠BOE=3：2；
若∠DOB：∠BOE=2：3，設∠BOD=2x，則∠BOE=3x，∠BOC=6x，
∵∠COD=180°，
∴2x+6x=180°，
∴2x=45°．
∴∠DOB=45°，
∴∠AOC=∠BOD=45°，
∵OF平分∠COD，
∴∠AOF=90°-∠AOC=45°．
若∠DOB：∠BOE=3：2，設∠BOD=3x，則∠BOE=2x，∠BOC=4x，
∵∠COD=180°，
∴3x+4x=180°，
∴x=（$\frac{180}{7}$）°．
∴∠DOB=（$\frac{540}{7}$）°，
∴∠AOC=∠BOD=（$\frac{540}{7}$）°，
∵OF⊥CD，
∴∠AOF=90°-∠AOC=（$\frac{90}{7}$）°．

點評 本題考查了垂直、角平分線、平角的定義，對頂角相等的性質(zhì)，難度適中，利用數(shù)形結合及方程思想是解題的關鍵．