Question

9．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關系為BE=$\sqrt{2}$AF
（2）【拓展研究】
在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；
（3）【問題發(fā)現(xiàn)】
當正方形CDEF旋轉到B，E，F(xiàn)三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形的性質得出AD=$\sqrt{2}$，再得出BE=AB=2，即可得出結論；
（2）先利用三角函數(shù)得出$\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，同理得出$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；
（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{6}$，即可得出BE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根據(jù)勾股定理得，BC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
點D為BC的中點，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴AF=EF=AD=$\sqrt{2}$，
∵BE=AB=2，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
故答案為BE=$\sqrt{2}$AF；
（2）無變化；
如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在正方形CDEF中，∠FEC=$\frac{1}{2}$∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AF}=\frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
∴線段BE與AF的數(shù)量關系無變化；
（3）當點E在線段AF上時，如圖2，
由（1）知，CF=EF=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△BCF中，CF=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理得，BF=$\sqrt{6}$，
∴BE=BF-EF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
由（2）知，BE=$\sqrt{2}$AF，
∴AF=$\sqrt{3}$-1，
當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=$\frac{CA}{CB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在正方形CDEF中，∠FEC=$\frac{1}{2}$∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=$\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴$\frac{BE}{AF}=\frac{CB}{CA}=\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$AF，
由（1）知，CF=EF=CD=$\sqrt{2}$，
在Rt△BCF中，CF=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理得，BF=$\sqrt{6}$，
∴BE=BF+EF=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
由（2）知，BE=$\sqrt{2}$AF，
∴AF=$\sqrt{3}$+1．
即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F(xiàn)三點共線時候，線段AF的長為$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了，等腰直角三角形的性質，正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，解（2）（3）的關鍵是判斷出△ACF∽△BCE．第三問要分情況討論．