Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作等邊△ABE和等邊△ACD，DE與AB交于F，
求證：EF=FD．

Answer 1

證明：過E作EG丄AB于G，如圖，
∵△ABE為等邊三角形，
∴BG=AB，=60°，AE=AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，
∴AG=BC，
在Rt△EAG和Rt△ABC中
，
∴Rt△EAG≌Rt△ABC（HL），
∴EG=AC，
∵△DAC為等邊三角形，
∴AC=AD，∠DAC=60°，
∴EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，
在Rt△EFG和Rt△DFA中
，
∴△EFG≌△DFA，
∴EF=FD．
分析：過E作EG丄AB于G，由△ABE為等邊三角形得到BG=AB，=60°，AE=AB，Rt△ABC中根據(jù)30°所對的邊等于斜邊的一半得到BC=AB，則AG=BC，然后根據(jù)直角三角形全等的判定方法得到Rt△EAG≌Rt△ABC（HL），則EG=AC；再由△DAC為等邊三角形，則AC=AD，∠DAC=60°，可得到EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，根據(jù)全等三角形的判定方法可證得△EFG≌△DFA，可有EF=FD．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形的性質(zhì)．