Question

如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交線段AC于點(diǎn)M，K，設(shè)=m．
（1）觀察：如圖2，當(dāng)∠CDF=60°時(shí)，m的值等于______；如圖3，當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，m的值等于______；
（2）如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時(shí)，求證：m＞1．
（3）如果MK²+CK²=AM²，則∠CDF=______度，m=______（直接寫(xiě)出結(jié)論）

Answer 1

（1）解：當(dāng)∠CDF=60°時(shí)，如圖2，
∵∠ACB=∠F=90°，∠CAD=30°，D為AB的中點(diǎn)，
∴DC=DA=DB，
∴∠KCD=30°，
∴∠CKD=90°，
∴KA=KC，
而AM=0，
∴m==1；
當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，如圖3，
∴KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，
∵∠MDK=60°，
∴△DMK為等邊三角形，
∴MK=KD=MD，∠KMD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠MDA=∠KMD-∠A=30°，
∴MA=MD，
∴MA=MK=KC，
∴m==2；

（2）證明：作∠ADP=α，DP=DK，如圖1，
∵在△ADP和△CDK中，
，
∴△ADP≌△CDK（SAS），
∴AP=CK，
∵∠ADC=120°，∠MDK=60°，
∴∠ADM=120°-60°-α=60°-α，
∴∠MDP=60°-α+α=60°，
∵在△MDP和△MDK中，
，
∴△MDP≌△MDK（SAS），
∴PM=MK，
∵AM+AP＞PM，
∴AM+KC＞MK，
∴m＞1；

（3）解：如圖1，由（2）得PM=MK，AP=CK，
∵M(jìn)K²+CK²=AM²，
∴PM²+AP²=AM²，
∴∠APM=90°，
∵∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°，
∴∠MAP=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AM=2AP，MP=AP，
∴AM=2CK，MP=CK，
∴m==；
∵△MDP≌△MDK，
∴∠KMD=∠PMD==75°，
∴∠MKD=180°-75°-60°=45°，
而∠MKD=∠KCD+∠CDK，
∴∠CDK=45°-30°=15°，即∠CDF=15°．
故答案為1，2；15；．
分析：（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到△CDA是等腰三角形，再由∠CAD=30°，∠CDF=60°得到∠CKD=90°，則KA=KC，然后計(jì)算m的值；當(dāng)∠CDF=30°時(shí)，
可得到KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，得到△DMK為等邊三角形，所以MK=KD=MD，∠KMD=60°，再證出MD=MA，然后計(jì)算m的值；
（2）作∠ADP=α，DP=DK，則根據(jù)“SAS”得到△ADP≌△CDK，得到AP=CK，再計(jì)算出∠MDP=60°，則可根據(jù)“SAS”可得△MDP≌△MDK，則PM=MK，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到AM+AP＞PM，即AM+KC＞MK，于是可得到m＞1；
（3）由（2）得PM=MK，AP=CK，由MK²+CK²=AM²得到PM²+AP²=AM²，根據(jù)勾股定理的逆定理得∠APM=90°，由∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°可得∠MAP=60°，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AM=2AP，MP=AP，即AM=2CK，MP=CK，則可計(jì)算出m的值；接著計(jì)算出∠KMD=∠PMD=75°，∠MKD=45°，然后利用三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出α的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理的逆定理．