Question

（2013•岱山縣模擬）如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長線于點(diǎn)F，BD=4，CD=3．下列結(jié)論：
①∠AED=∠ADC；②

DE

DA

=

3

4

；③AC•BE=12；④3BF=4AC，
其中結(jié)論正確的是

①③④

（填序號(hào)）

Answer 1

分析：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∠EAD=∠DAC；②易證△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，AC不一定等于4．③當(dāng)FC⊥AB時(shí)成立；④連接DM，可證DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易證△FMB∽△CMA，得比例線段求解．

解答：解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故本選項(xiàng)正確；
②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，
故不一定正確；
③由①知∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=12．
故本選項(xiàng)正確；
④連接DM，
在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，
則DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，
∴3BF=4AC．
故本選項(xiàng)正確．
綜上所述，①③④正確，共有3個(gè)．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意題目中相等線段的替換，此題綜合性強(qiáng)，有一定難度．