Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC．以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．過E點作⊙O的切線，交AB于點F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OE．由AC=AC，OE=OC可證明∠OEC=∠ABC，從而可證得OE∥AB，由切線的性質(zhì)可知∠OEF=90°，然后由平行線的性質(zhì)可證明∠AFE=90°；
（2）連結(jié)DE、AE．先由直徑所對的圓周角等于90°可證明AE⊥BC，由等腰三角三線合一的性質(zhì)可求得BC的長，然后依據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明∠BED=∠BAC，于是可得得到△BED∽△BAC，接下來由相似三角形對應(yīng)邊成比例可求得AB的長，從而得到AC的長．

解答 解：（1）證明：如圖1所示：連結(jié)OE．

∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵OE=OC，
∴∠OEC=∠ACB，
∴∠OEC=∠ABC．
∴OE∥AB．
∵EF與⊙O 相切，
∴OE⊥EF．
∴∠OEF=90°．
∵OE∥AB，
∴∠AFE=90°．
∴OE⊥AB．
（2）如圖2所示：連結(jié)DE、AE．

∵四邊形ACED為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DEC+∠BAC=180°．
又∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠BED=∠BAC．
又∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC．
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$．
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°．
∵在△ABC中，AB=AC，
∴BE=CE=3，
∴BC=6．
∴$\frac{3}{AB}=\frac{2}{6}$，
∴AB=9．即AC=AB=9．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，證得△BED∽△BAC是解題的關(guān)鍵．