Question

【提出問(wèn)題】
已知P是∠ABC、∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，你能找到∠P、∠A的關(guān)系嗎？
【分析問(wèn)題】
在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，小明是這樣做的：先找一個(gè)例子，如∠A=80°度，計(jì)算出∠P=130°，隨后他又舉了幾個(gè)例子，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行了證明，從而找到∠P與∠A的關(guān)系：∠P=90°+

1

2

∠A
在解決問(wèn)題的過(guò)程中，小明運(yùn)用了“由特例得到猜想，證明得出一般結(jié)論”的方法，你能用這種方法解決下面的兩個(gè)問(wèn)題．
【解決問(wèn)題】
（1）若點(diǎn)P是∠ABC、∠ACB的三等分線的交點(diǎn)，即∠PBC=

1

3

∠ABC，∠PCB=

1

3

∠ACB，則∠P與∠A的關(guān)系為

 

，請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（2）若P是∠ABC、∠ACB的四等分線交點(diǎn)，∠PBC=

1

4

∠ABC，∠PCB=

1

4

∠ACB，則∠P與∠A的關(guān)系為

 

．（直接寫(xiě)出答案，不需證明）
（3）若P是∠ABC、∠ACB的n等分線交點(diǎn)，∠PBC=

1

n

∠ABC，∠PCB=

1

n

∠ACB，則∠P與∠A的關(guān)系為

 

．（直接寫(xiě)出答案，不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）假設(shè)∠A=60°，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三等分線求出∠PBC+∠PCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可；
（2）假設(shè)∠A=60°，同（1）可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)n等分線求出∠PBC+∠PCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可．

解答：解：（1）假設(shè)∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，
∴∠PBC+∠PCB=

1

3

（180°-60°）=40°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°，即∠P=

1

3

∠A+

2

3

×180°．
故答案為：∠P=

1

3

∠A+

2

3

×180°；

（2）假設(shè)∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的四等分線，
∴∠PBC+∠PCB=

1

4

（180°-60°）=30°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=150°，即∠P=

1

4

∠A+

3

4

×180°．
故答案為：∠P=

1

4

∠A+

3

4

×180°；

（3）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的n等分線，
∴∠PBC+∠PCB=

1

n

（180°-∠A），
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-

1

n

（180°-∠A）
=

n-1

n

•180°+

1

n

∠A．
故答案為：

n-1

n

•180°+

1

n

∠A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及角平分線定義，解此題的關(guān)鍵是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，題目比較好，求解過(guò)程類似．