Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c交x軸于點A(－3，0)，點B(1，0)，交y軸于點E(0，－3)．點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與y軸平行．直線y＝－x＋m過點C，交y軸于D點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H，與拋物線交于點G，求線段HG長度的最大值；

(3)在直線l上取點M，在拋物線上取點N，使以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y＝a(x－1)(x＋3) 　　∵拋物線交y軸于點E(0，－3)，將該點坐標代入上式，得a＝1 　　∴所求函數(shù)表達式為y＝(x－1)(x＋3)， 　　即y＝x2＋2x－3； 　　(2)∵點C是點A關(guān)于點B的對稱點，點A坐標(－3，0)，點B坐標(1，0)， 　　∴點C坐標(5，0)， 　　∴將點C坐標代入y＝－x＋m，得m＝5， 　　∴直線CD的函數(shù)表達式為y＝－x＋5， 　　設(shè)K點的坐標為(t，0)，則H點的坐標為(t，－t＋5)，G點的坐標為(t，t2＋2t－3)， 　　∵點K為線段AB上一動點， 　　∴－3≤t≤1， 　　∴HG＝(－t＋5)－(t2＋2t－3)＝－t2－3t＋8＝－(t＋)2＋， 　　∵－3＜－＜1， 　　∴當t＝－時，線段HG的長度有最大值； 　　(3)∵點F是線段BC的重點，點B(1，0)，點C(5，0)， 　　∴點F的坐標為(3，0)， 　　∵直線l過點F且與y軸平行， 　　∴直線l的函數(shù)表達式為x＝3， 　　∵點M在直線l上，點N在拋物線上， 　　∴設(shè)點M的坐標為(3，m)，點N的坐標為(n，n2＋2n－3)， 　　∵點A(－3，0)，點C(5，0)， 　　∴AC＝8， 　　分情況討論： 　　①若線段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的邊，則需MN∥AC，且MN＝AC＝8． 　　當點N在點M的左側(cè)時，MN＝3－n， 　　∴3－n＝8，解得n＝－5， 　　∴N點的坐標為(－5，12)， 　　當點N在點M的右側(cè)時，MN＝n－3， 　　∴n－3＝8， 　　解得n＝11， 　　∴N點的坐標為(11，140)， 　�、谌艟�段AC是以點A、C，M、N為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C與點A關(guān)于點B中心對稱”知：點M與點N關(guān)于點B中心對稱，取點F關(guān)于點B的對稱點P，則P點坐標為(－1，0) 　　過P點作NP⊥x軸，交拋物線于點N， 　　將x＝－1代入y＝x2＋2x－3，得y＝－4， 　　過點N，B作直線NB交直線l于點M， 　　在△BPN和△BFM中， 　　∠NBP＝∠MBF， 　　BF＝BP， 　　∠BPN＝∠BFM＝90°， 　　∴△BPN≌△BFM， 　　∴NB＝MB，∴四邊形ANCM為平行四邊形， 　　∴坐標(－1，－4)的點N符合條件， 　　∴當N的坐標為(－5，12)，(11，140)，(－1，－4)時，以點A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形．