Question

5．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為矩形ABCD的四條邊上的動點，AE=DH=CG=FB，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）如圖2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M為垂足，則GM的長是否為定值？若是，求其值；若不是，求其范圍；
（3）若AB=25，AD=15，設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為y，當(dāng)x為何值時，y最大？

Answer 1

分析 （1）只要證明△DEH≌△BFG，得到EH=FG，同理可證EF=HG，由此即可證明．
（2）GM的長不是定值．取特殊位置解決問題，如圖1中，當(dāng)E與D重合時，B與G重合，得GM的最大值；如圖2中，當(dāng)E與A重合時，得GM的最小值．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AE=DH=CG=FB，
∴DH=BF，DE=BG，
在△DEH和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BG}\\{∠D=∠B}\\{DH=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△BFG，
∴EH=FG，同理可證EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行三角形．

（2）解：GM的長不是定值．
如圖1中，當(dāng)E與D重合時，B與G重合，則四邊形HMBC是矩形，所以GM=HC=m-n，
如圖2中，當(dāng)E與A重合時，四邊形EFGH是矩形，M與G重合，MG=0，
綜上所述，0≤MG≤m-n．


（3）解：如圖3中，

∵AE=DH=CG=BF=x，AD=BC=15，AB=CD=25，
∴DE=BG=15-x，CH=AF=25-x，
∴S=15×25-2×$\frac{1}{2}$×x×（15-x）+2×$\frac{1}{2}$×x（25-x）=2x²-40x+375=2（x-10）²=2（x-10）²+175．
∵2＞0，0≤x≤15，
∴由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可知x=0或15時，S有最大值，最大值為375．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會取特殊位置確定最值問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．